Задачи по теме «Системы счисления»

1.  Трехзначное десятичное число оканчивается цифрой 3. Если эту цифру переместить на два разряда влево, то есть так, что с нее будет начинаться запись нового числа, то это новое число будет на единицу больше утроенного исходного числа. Найдите исходное число.

2.   Шестизначное число оканчивается цифрой 4. Если эту цифру переставить из конца числа в начало, то есть приписать ее перед первой, не изменяя порядок остальных пяти, то получится число, которое в четыре раза больше первоначального. Найдите это число.

3.  Некогда был пруд, в центре которого вырост один лист водяной линии. Каждый день число листьев удваивалось, и на десятый день вся поверхность пруда уже была заполнена листьями лилий. Сколько дней понадобилось, чтобы заполнить листьями половину пруда? Сосчитайте, сколько листьев выросло к концу десятого дня.

4.  Этот случай вполне мог иметь место во время «золотой лихорадки». На одном из приисков старатели были возмущены действиями Джо Макдональда – хозяина салуна, принимавшего от них в уплату золотой песок. Очень уж необычными были гири, с помощью которых тот взвешивал золото: 1, 2, 4, 8, 16, 32 и 64 грамма. Джо утверждал, что с помощью такого набора гирь он может взвесить с точностью до грамма любую порцию золотого песка, вес которой не превышает 100 граммов. Прав ли Джо Макдональд? Какой наибольший вес могут «взять» такие гири? Как с помощью названных гирь набрать вес: 25 г, 48 г, 72, 105 г?

5.   Найдите такой набор из пяти гирь, чтобы, располагая их на одной чаше весов, можно было бы взвесить с точностью до 1 кг любой груз до 31 кг включительно.

6.   Каким наименьшим числом гирь можно взвесить груз от 1 до 63 кг с точностью до 1 кг, помещая гири только на одну чашку весов?

7.   Можно ли с помощью трех гирь (1, 3 и 9 кг) взвесить с точностью до 1 кг любой груз до 13 кг включительно, если гири можно располагать на обеих чашах весов, в том числе и на чаше с грузом?

8.  Один кладовщик оказался в большом затруднении: заказанный комплект гирь для простых чашечных весов не прибыл в срок, а на соседнем складе лишних гирь не было. Тогда он решил подобрать несколько кусков железа разной массы и временно пользоваться ими как гирями. Ему удалось выбрать такие четыре «гири», с помощью которых можно было бы взвешивать с точностью до 100 г товар от 100 г до 4 кг. Подумайте, какой массы были эти гири?

9.   Запишите наибольшее двузначное число и определите его десятичный эквивалент для следующих систем счисления:

1)      восьмеричной системы счисления;

2)      пятеричной системы счисления;

3)      троичной системы счисления;

4)      двоичной системы счисления.

10.  Запишите наименьшее трехзначное число и определите его десятичный эквивалент для следующих систем счисления:

1)      восьмеричной системы счисления;

2)      пятеричной системы счисления;

3)      троичной системы счисления;

4)      двоичной системы счисления.

11.  Упорядочите следующие числа по убыванию: 143₆, 50₉, 1222₃, 1011₄, 110011₂, 128₃.

12.  В классе 111100₂% девочек и 1100₂ мальчиков. Сколько учеников в классе?

13.  У меня 100 братьев. Младшему 1000 лет, а старшему 1111 лет. Старший учится в 1001-м классе. Может ли такое быть?

14.  В классе 1000_q учеников, из них 120_q девочек и 110_q мальчиков. В какой системе счисления велся счет учеников?

15.  В саду 88_q фруктовых деревьев, из них 32_q яблонь, 22_q груш, 16_q слив и 17_q вишен. В какой системе счисления посчитаны деревья?

16.  Было 53_q яблока. После того как каждое из них разрезали пополам, стало 136_q половинок. В системе счисления с каким основанием вели счет?

17. Один мальчик так написал о себе: «У меня 24 пальца, на каждой руке по 5, а на ногах 12». Как это могло быть?

18.  Расставьте знаки арифметических операций так, чтобы были верны следующие равенства в двоичной системе счисления:

1)      1100 ? 11? 100 = 100000;

2)      1100 ? 10 ? 10 = 100;

3)      1100 ? 10 ? 10 = 110000;

4)      1100 ? 10 ? 10 = 1011;

5)      1100 ? 11 ? 100 = 0.

19.  Как измениться запись P-ичной дроби с нулевой целой частью, если ее разделить на P²?

20.  Записать в системе счисления с основанием 234 число 235.

21.  Будут ли справедливы признаки делимости натуральных чисел на 2, 3, 5, 9, 10, сформулированные для десятичной системы счисления, и в других P-ичных системах?

22.  Число, записанное в десятичной системе счисления, оканчивается цифрой 5. Будет ли оно делиться на 5₁₀, если записать его в троичной системе счисления?

23.  Существуют ли системы счисления с основаниями p и q, в которых 12_p>21_q?

24.  Для десятичного числа 371 найти систему счисления с основанием p, в которой данное число будет представлено теми же цифрами, но записанными в обратном порядке, то есть 371₁₀ = 173_p.

25.  908,74_{10-2, 8, 16}

26.  723,745_{8-2, 10, 16}

27.     F15,A6_{16-2, 8, 10}

28.     10111011,11101_{2-8, 10, 16}

29.     824,57_{10-2, 8, 16}

30.     162,354_{8-2, 10, 16}

31.     A05,79_{16-2, 8,10}

32.    101001110011,1101111_{2-8, 10,16}

33.    432,76_{10-2, 8, 16}

34.    321,56_{8-2, 10, 16}

35.    1F8,A5_{16-2, 8 10}

36.    11011110,1001_{2-8, 10, 16}

37.    359,88_{10-2, 8, 16}

38.    367,523_{8-2, 10, 16}

39.    1AC,F2_{16-2, 8, 10}

40.    10001110,1011_{2-8, 10, 16}

41.    Перевести двоичные числа в восьмеричную систему счисления:
1) 110000110101;     1010101;      0,1010011100100;      0,1111110001;
2)0,1001111100000;      0,1100010;     11100001011001;     1000010101.

42.    Перевести двоичные числа в шестнадцатеричную систему счисления:
1) 11011010001;      111111111000001;      0,0110101;      0,11100110101;
2) 10001111010;     100011111011;      0,101010101;     01100110011.

43.    Перевести смешанные двоичные числа в восьмеричную и шестнадцатеричную системы:
1) 100010,011101;      1111000000,101;      101010,111001;      100011,111;
2) 101111,01100;      100000111,001110;      101010,0010;     1100011,11.

44.    Перевести восьмеричные числа в двоичную систему счисления:
1) 256;      0,345;     24,025;      0,25;
2) 657;     76,025;     0,344;     345,77.

45.    Перевести шестнадцатеричные числа в двоичную систему счисления:
1) 1АС7;      0,2D1;      2F,D8C;      F0C,FF;
2) FACC;      0,FFD;      FDA,12F;      DDFF.A.

46.    Перевести числа из шестнадцатеричной системы счисления в восьмеричную:
1) А45;      24A,9F;      0,FDD5;      F12.0457;
2) A24,F9;      54A;      0,DFD3;      21D,567.

47.    Перевести числа из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную :
1) 774;      765,25;      0,5432;      654,763;
2) 665;      546,76;      0,7654;      432,347.

48.    Перевести следующие числа: 
1) 23₁₆ -  А₂;      23,45₈ - А₂;      1010,0011101₂ - А₈;     1010,0011101₂ - А₁₆;
2) АС1₁₆ - А₈;      101010₈ - А₂;      101010₂ - А₈;      23,561₈ - А₁₆.

49.    Перевести следующие числа:
1) 10101,01₂ - А₈;      10101,01₈ - А₁₆;      10101,01₁₆ - А₈;      10101,01₈ - А₂;
2) 11001,11₂ - А₈;      11001,11₈ - А₁₆;      11001,11₁₆ - А₈;      11001,11₈ - А₂

50.    Перевести следующие числа:
1) АВС,1А₁₆ - А₈;      АВС,1А₁₆ - А₂;
2) 123,56₈ - А₁₆;      123,56₈ - А₂;
3) 101011,101₂ - А₈;      101011,101₂ - А₁₆;
4) 456,7₈ - А₁₆;      456,7₁₆ - А₈.

51.    Опишите четверичную систему. Постройте двоично-четверичную таблицу.

52.    Перевести следующие числа:
1)30₄ - А₂;      13,2₄ - А₂;      10111100₂ - А₄;      101,011₂ - А₄;
2) 23₄ - А₂;      31,3₄ - А₂;      11001101₂ - А₄;      111,101₂ - А₄.

53.    Перевести следующие числа:
1) 131,21₄ - А₈;      234₈ - А₄;      321,12₄ - А₁₆;      А1В,Е₁₆ - А₄;
2) 331,11₄ - А₈;      364₈ - А₄;      111,22₄ - А₁₆;      1А1,1Е₁₆ - А₄.

54.    В спортивном клубе занимаются 340 человек – 155 мальчиков и 141 девочка. В какой системе счисления посчитано количество спортсменов?

55.    Во дворе школы учащиеся посадили 23₇ деревьев и декоративные кустарники. Всего было посажено 120₇ саженцев. Сколько кустарников посадили школьники?

56.    Переведите данное число из десятичной системы счисления в двоичную:             

    а) 261,18₍₁₀₎;   б) 98,125₍₁₀₎,   в) 156,625₍₁₀₎

57. Переведите данное число из десятичной системы счисления в двоичную:                   

    а) 350,16₍₁₀₎;   б) 179,25₍₁₀₎,   в) 162,384₍₁₀₎

58. Переведите данное число из десятичной системы счисления в двоичную:                   

     а) 172,15₍₁₀₎;   б) 219,256₍₁₀₎,   в) 182,742₍₁₀₎

59.  Переведите данное число из десятичной системы счисления в двоичную:                   

     а) 232,15₍₁₀₎;   б) 199,75₍₁₀₎,   в) 155,453₍₁₀₎

60.  Переведите данное число из десятичной системы счисления в двоичную:               

     а) 261,18₍₁₀₎;   б) 98,125₍₁₀₎,   в) 156,625₍₁₀₎

Задачи по теме «Действия над числами в разных системах счисления»

1.    10111011 + 1110011 = 100101110

2.    111011 - 10111 = 100100

3.    7AB + 124 = 8CF

4.    1AF1 + 124 = 1C15

5.    101111 + 10100 = 1000011

6.    1011101 - 110110 = 100111

7.    12C + D45 = E71

8.    1111000 - 100001 = 1010111

9.    11000011 + 1111111 = 101000010

10. Произведите сложение, вычитание, умножение и деление двоичных чисел 1010₂ и 10₂.

11. Вычислите сумму двоичного и десятичного чисел 10₂ + 10₁₀. Представить результат в десятичной системе счисления.

12. Вычислите сумму чисел 11₂ + 11₈ + 11₁₀ + 11₁₆. Представить результат в двоичной системе счисления.

13. Вычислите разность чисел 256₈ и 77₈; 100100₂ и 1011_2; ABC₁₆ и FF₁₆

14.  Расставьте вместо знаков вопроса знаки арифметических операций так, чтобы было верно следующее равенство в двоичной системе: 1100 ? 11 ? 100 = 100000

15. Сложите числа а) 101101₂+11111₂    б) 4357₈+2564₈       в) 2C6₁₆+F9₁₆

16. Выполните вычитание а) 101101₂-11111₂    б) 4357₈-2564₈     в) 2C6₁₆-F9₁₆

17. Сложите числа а) 110101₂+11011₂    б) 3574₈+2644₈       в) 3В9₁₆+9А₁₆

18. Выполните вычитание а) 110101₂-11011₂    б) 3574₈-2644₈     в) 3В9₁₆-9А₁₆

19. Сложите числа а) 110011₂+10101₂    б) 5743₈+4714₈       в) В51₁₆+7D₁₆

20. Выполните вычитание а) 110011₂-10101₂    б) 5743₈-4714₈     в) В51₁₆-7D₁₆

21. Сложите числа а) 111011₂+10011₂    б) 3743₈+2714₈       в) A62₁₆+78B₁₆

22. Выполните вычитание а) 111011₂-10011₂    б) 3743₈-714₈       в) A62₁₆-8B₁₆

23. Сложите числа а) 101101₂+11111₂    б) 4357₈+2564₈       в) 2C6₁₆+F9₁₆

24. Выполните вычитание а) 101101₂-11111₂    б) 4357₈-2564₈     в) 2C6₁₆-F9₁₆

25. Сложите числа а) 110101₂+11011₂    б) 3574₈+2644₈       в) 3В9₁₆+9А₁₆

26. Выполните вычитание а) 110101₂-11011₂    б) 3574₈-2644₈     в) 3В9₁₆-9А₁₆

27. Сложите числа а) 110011₂+10101₂    б) 5743₈+4714₈       в) В51₁₆+7D₁₆

28. Выполните вычитание а) 110011₂-10101₂    б) 5743₈-4714₈     в) В51₁₆-7D₁₆

29. Сложите числа а) 111011₂+10011₂    б) 3743₈+2714₈       в) A62₁₆+78B₁₆

30. Выполните вычитание а) 111011₂-10011₂    б) 3743₈-714₈       в) A62₁₆-8B₁₆

31. Выполните сложение: 11001 +101; 11001 +11001; 1001 + 111; 10011 + 101; 11011 + 1111; 11111 + 10011

32. Выполните сложение,  вычитание, умножение в двоичной системе счисления:

1.1111 и 1011;

2.1001 и 110;

3.11001 и 10111;

4.111 и 101;

5.10011 и 1101;

6.10011 и 1001;

7.110110 и 11111;

8.10011001 и 1101;

9.10101 и 1101;

10. 10111и 111;

11.11001и 111;

12.10111 и 111100;

13.11000 и 1101;

14.1011и 111.

15.1100100 и 100011;

16.101101 и 1101;